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¿Cómo puedo replicar el Total Stock Market Index de Vanguard usando su S&P 500 y fondos extendidos del mercado de valores?


Pregunta

Quiero aproximar el total del mercado de valores de los Estados Unidos con parte de mi 401(k). Tengo acceso a dos fondos mutuos indexados de bajo costo: VIIIX, que rastrea el S&P 500 ( gran capitalización) y VIEIX, que realiza un seguimiento del índice de finalización S&P (pequeña/mediana capitalización).

¿Qué pesos relativos debo usar para que estos dos fondos sean equivalentes a algo como VTSMX? ¿Cómo se determinaría esto además de ir con 50:50?

La capitalización de mercado de S&P 500 y el S&P Completion Index es de 14,7 billones de dólares y 3,4 billones de dólares, respectivamente. ¿Tiene sentido usar esa proporción?

2013/07/10
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12
7/10/2013 2:30:01 AM

Respuesta aceptada

Respuesta corta

Ese índice es una aproximación decente de la distribución de capitalización de mercado en VTSMX, aunque no es perfecto porque los dos fondos a los que tiene acceso, VIIIX y VIEIX, se superponen un poco en sus tenencias. El S&P 500 y el índice de finalización no lo hacen. Si usa el S&P 500 y el índice de finalización como pesos relativos, obtendrá (14,7+3,4)/14,7 = 81,2 % y 1-0,812 = 18,8 % para VIIIX y VIEIX, respectivamente.

Podemos verificar que esto está cerca de la mejor asignación utilizando cualquiera de los dos métodos a continuación. En base a eso, es seguro decir que una asignación del 81 % a VIIIX y del 19 % a VIEIX debería replicar VTSMX bastante bien. Recuerde que, debido a los índices de gastos (entre otros factores), es posible que los rendimientos de su cartera replicada no coincidan exactamente con los rendimientos de la cartera objetivo.

Respuesta larga

Según Morningstar, < a href="http://portfolios.morningstar.com/fund/summary?t=VTSMX&region=USA&culture=en-us" rel="noreferrer">VTSMX tiene la distribución de capitalización de mercado que se muestra en la primera columna.

Market Cap           % of Portfolio      Benchmark       Category Avg.
Giant                        41.42           44.96             53.38
Large                        30.50           33.25             28.92
Medium                       19.47           20.04             15.70
Small                        6.20             1.74              1.85
Micro                        2.41             0.02              0.15

Morningstar coloca VTSMX en la categoría Mezcla grande, por lo que los promedios de categoría en la columna de la derecha son para esa categoría. El índice de referencia es el índice Russell 1000.

VIIIX y VIEIX tiene estas distribuciones:

Market Cap           % (VIIIX)    % (VIEIX)
Giant                    51.28         0.43
Large                    36.20         5.38
Medium                   12.43        48.06
Small                     0.09        32.62
Micro                     0.00        13.51

Queremos encontrar asignaciones para VIIIX y VIEIX, es decir, dos porcentajes que sumen 1, que nos den una cartera con una distribución de capitalización de mercado lo más cercana posible a la de VTSMX. Hay varios métodos que funcionarían para esto; ambos devuelven la misma solución:

Método 1: búsqueda de objetivos en Excel

Usando la función de búsqueda de objetivos de Excel, descubrí que asignar el 80,5712423979149 % de su cartera a VIIIX y el el resto (19,4287576%) a VIEX produce esta distribución (que se muestra en la columna "replicada"), que es bastante parecida. La segunda columna de datos es VTSMX, el fondo que está tratando de replicar.

Market Cap           % (replicated)       % (VTSMX)       "% Error"
Giant                  41.40                 41.42         0.0471
Large                  30.21                 30.50         0.9441
Medium                 19.35                 19.47         0.6037
Small                  6.41                  6.20          3.3899
Micro                  2.62                  2.41          8.9139

Esto me da la asignación de aproximadamente 81 % a VIIIX y 19% a VIEIX que enumeré en la respuesta breve anterior. El porcentaje de error, que se calcula como el valor absoluto de la diferencia entre las asignaciones divididas por la asignación en VTSMX, aumenta a medida que disminuye la capitalización de mercado, pero eso no debería preocuparte. Dado que la asignación disminuye a medida que disminuye la capitalización de mercado, aunque el error aumenta a medida que disminuye la capitalización de mercado, ese error representa una cantidad cada vez menor del valor real del fondo.

Este no es un sistema perfecto, porque soy abusando de la noción de "errores porcentuales ponderados" un poco aquí, pero espero que la idea sea clara.

Método 2: Matrices

En este caso específico, las matrices proporcionan una estrategia mucho más sólida y posiblemente lógica. Desde una perspectiva matemática, este es el problema que estamos tratando de resolver:

sistema de ecuaciones

donde w1 y w2 son las asignaciones porcentuales de VIIIX y VIEIX, respectivamente, que desea en su cartera 401K. A primera vista, parece que puedes simplemente resolver la última ecuación para w2 y sustituir ese valor en cualquiera de las primeras cuatro ecuaciones para resolver w1; desafortunadamente, si prueba esta estrategia con la cuarta ecuación, obtiene un valor de w1 = 4.2816, pero si prueba esto con la tercera ecuación, obtiene w1 = 0.87716 . Si intenta usar el valor de w1 que proviene de la cuarta ecuación en cualquiera de las otras ecuaciones (además de la quinta, en la que no importa) encontrará que no funcionará . Lo mismo ocurre con el w1 que salió de la tercera ecuación, o de la segunda, o de la primera.

Parece que tenemos un problema. No todo está perdido, sin embargo. Si alguna vez tomó un curso de álgebra, puede ver que el sistema de ecuaciones anterior se parece a esta ecuación matricial:

ecuación matricial

Etiqueté la matriz numérica en el lado izquierdo de la ecuación A para ahorrar espacio. La teoría del álgebra lineal probablemente no sea tan emocionante para todos como lo es para mí, así que seré breve. Dado que A es una matriz de 5x2 con rango 2, por lo tanto tiene una inversa izquierda, que podemos calcular así:

< p>inverso izquierdo

Con nuestro inverso izquierdo en la mano, podemos encontrar rápidamente la solución a la ecuación matricial así:

solution

que nos da la misma solución que encontramos con Excel. También es importante entender que este es el "mejor" solución al problema; en otras palabras, hemos encontrado los pesos de VIIIX y VIEIX que replican la distribución de capitalización de mercado de VTSMX lo más fielmente posible.

Si alguna vez tomó un curso de estadística o econometría, es posible que reconozca el cálculo y la aplicación de la inversa izquierda como la estimación de mínimos cuadrados ordinarios (OLS) los pesos; eso significa que en este caso, "más cercano" implica que los pesos que encontramos minimizan la suma de los cuadrados de las diferencias ("errores" o "residuos") entre nuestra cartera replicada y VTSMX.

Si bien el método de matriz/OLS parece más complicado, Lo incluyo porque puede ser mucho más rápido computacionalmente que usar Excel si intenta replicar una cartera usando más de dos fondos. El método matriz/OLS también escala muy bien en situaciones donde se utilizan más de dos fondos en la replicación. Además, en este caso, teníamos las ponderaciones relativas del S&P 500 y el Índice de finalización para usar como guías, pero una vez que comenzamos a agregar más fondos con potencialmente más participaciones superpuestas entre ellos, calcular una relación simple puede no funcionar tan bien bien. Sin embargo, en el caso más complejo, incluso una regresión lineal simple podría no funcionar, y necesitaría usar métodos de regresión restringida y programación lineal/cuadrática para que esto funcione (si es que funciona).

Comparación de resultados/cartera

Si sustituye los pesos w1 y w2 que encontró, ya sea en Excel o usando matrices, en el lado izquierdo del sistema original de ecuaciones o la ecuación matricial (en lenguaje estadístico, está calculando los valores predichos lineales)

valores predichos

puede ver que su cartera replicada no coincide exactamente con la asignación de capitalización de mercado en VTSMX; específicamente, se sobreasigna a acciones de capitalización gigante, pequeña y micro, mientras que se sub-asigna a empresas de mediana y gran capitalización.

Tenía curiosidad por saber cómo se desempeñaría la cartera replicada frente a VTSMX, así que ejecuté una rápida simulación en MATLAB para comparar el rendimiento de cada cartera. Primero, hice algunas suposiciones:

  1. Al comienzo de un período de diez años, invierte $10,000 en cada cartera. Por cada mes en el mismo período, invierte $ 1,000 adicionales.
  2. Desanualicé el rendimiento anual promedio para acciones de capitalización gigante/mega, grande, mediana/mediana, pequeña y micro utilizando la fórmula 1 + anual = (1 + mensual)^12. Otra opción sería encontrar un conjunto de pesos que alcancen el rendimiento promedio de 10 años para VTSMX.
  3. Calculé el índice de gastos ponderado para la cartera replicada de la misma manera que calculé los valores pronosticados. Utilizando las proporciones de gastos de VIIIX (0,02 %) y VIEIX (0,12 %), esto me da una ponderación relación de gastos de 0.039%.
  4. Ignoré la inflación, ya que debería aplicarse por igual tanto al VTSMX como a la cartera replicada
  5. Ignoré los costos de transacción; Creo que esta es una suposición segura al comprar fondos mutuos.

Los resultados de la simulación:

comparación entre VTSMX y la cartera replicada

Como puede ver, la cartera replicada se acerca mucho a VTSMX. El valor final de la cartera VTSMX es de $185,561.89; para la cartera replicada, es de $185,992.72.

La cartera replicada supera a la cartera VTSMX en parte porque la cartera replicada está compuesta por acciones institucionales, que tienen índices de gastos mucho más bajos que las acciones de los inversionistas. utiliza el VTSMX (la distribución de capitalización de mercado también hace la diferencia). Incluso si invirtió en VTSAX, las acciones de Admiral equivalente a VTSMX, que tiene un índice de gastos mucho más bajo de 0.05 %, el índice de gastos ponderados es todavía más bajo en 0.039318 y su rendimiento todavía supera al fondo de referencia (VTASX en este caso). Los resultados finales son $185.580,43 y $185.992,72 para VTSAX y cartera replicada, respectivamente. La distancia se ha reducido, pero no es suficiente para que el fondo Vanguard supere su cartera.

Advertencias

Aunque estos rendimientos promedio pueden no representar con precisión las tenencias en VTSMX o su cartera replicada y las estadísticas de rendimiento promedio para cada capitalización de mercado pueden representar tenencias ligeramente diferentes a las de los fondos de Vanguard, estos matices no plantean un problema en este ejemplo porque estoy usando el mismo punto de referencia para estimar los rendimientos en VTSMX y el portafolio replicado.

Código

Aquí está el código MATLAB para la simulación; Hice el gráfico en Excel.

clear

%% Funds available for replication
VIIIX = [51.28;36.2;12.43;0.09;0] / 100;
VIEIX = [0.43;5.38;48.06;32.62;13.51] / 100;
expVIIIX = 0.02/100;
expVIEIX = 0.12/100;

%% Replication target
VTSMX = [41.42;30.5;19.47;6.2;2.41] / 100;
expVTSMX = 0.17/100;

%% Calculation of weights w1 and w2
A = [VIIIX VIEIX];
w = A \ VTSMX;

%% Market cap distribution, weighted expense ratio of replicated portfolio
REPPORT = A * w;
expREPPORT = [expVIIIX expVIEIX] * w;

%% De-annualized average returns and expense ratios
avgAnnRet = [0.0646;0.0572;0.0624;0.0848;0.0616];
avgMonRet = (1 + avgAnnRet).^(1/12) - 1;
expMonVTSMX   = (1 + expVTSMX)^(1/12) - 1;
expMonREPPORT = (1 + expREPPORT)^(1/12) - 1;

%% Simulation
% Parameters
startYear  = 2010;
endYear    = 2020;
initialInv = 10000;
monthlyInv = 1000;

% Initial investments, weighted by market cap
valVTSMX = initialInv * VTSMX;
valREPPORT = initialInv * REPPORT;

data = zeros((endYear - startYear)*12+1, 2);

for month=startYear:1/12:endYear
    valVTSMX   = monthlyInv * VTSMX + valVTSMX.*(1+avgMonRet);
    valREPPORT = monthlyInv * REPPORT + valREPPORT.*(1+avgMonRet);
    data(round(12*(month-startYear))+1, :) = [sum(valVTSMX)*(1-expMonVTSMX), ...
        sum(valREPPORT)*(1-expMonREPPORT)];
end

xlswrite('returns.xls', data, 'Data', 'A2');
2020/06/16
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6/16/2020 10:49:06 AM

Acabo de encontrar http://www.bogleheads.org/wiki/Approximating_Total_Stock_Market que responde a esta pregunta también.

2013/05/16

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