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Comment puis-je répliquer l'indice boursier total de Vanguard à l'aide de son S&P 500 et de ses fonds boursiers étendus ?


Question

Je souhaite estimer le marché boursier total des États-Unis avec une partie de mon 401(k). J'ai accès à deux fonds communs de placement indiciels à faible coût : VIIIX, qui suit le S&P 500 ( grande capitalisation) et VIEIX, qui suit l'indice S&P Completion Index (petite/moyenne capitalisation).

Quelles pondérations relatives dois-je utiliser pour que ces deux fonds soient équivalents à quelque chose comme VTSMX ? Comment pourrait-on déterminer cela en dehors d'aller simplement avec 50:50 ?

La capitalisation boursière du S&P 500 et le l'indice d'achèvement S&P est de 14 700 milliards de dollars et de 3 400 milliards de dollars, respectivement. Est-il judicieux d'utiliser ce ratio ?

2013/07/10
1
12
7/10/2013 2:30:01 AM

Réponse acceptée

Réponse courte

Ce ratio est une bonne approximation de la répartition de la capitalisation boursière dans VTSMX, bien qu'il ne soit pas parfait car les deux fonds auxquels vous avez accès, VIIIX et VIEIX, se chevauchent quelque peu dans leurs avoirs. Le S&P 500 et l'indice d'achèvement ne le font pas. L'utilisation du S&P 500 et de l'indice d'achèvement comme pondérations relatives vous donne (14,7 + 3,4)/14,7 = 81,2 % et 1-0,812 = 18,8 % pour VIIIX et VIEIX, respectivement.

Nous pouvons vérifier que ceci est proche de la meilleure allocation en utilisant l'une des deux méthodes ci-dessous. Sur cette base, il est prudent de dire qu'une allocation de 81% à VIIIX et de 19% à VIEIX devrait assez bien répliquer VTSMX. N'oubliez pas qu'en raison des ratios de dépenses (entre autres facteurs), les rendements de votre portefeuille répliqué peuvent ne pas correspondre exactement aux rendements du portefeuille cible.

Réponse longue

Selon Morningstar, < a href="http://portfolios.morningstar.com/fund/summary?t=VTSMX&region=USA&culture=en-us" rel="noreferrer">VTSMX a la distribution de la capitalisation boursière indiquée dans la première colonne.

Market Cap           % of Portfolio      Benchmark       Category Avg.
Giant                        41.42           44.96             53.38
Large                        30.50           33.25             28.92
Medium                       19.47           20.04             15.70
Small                        6.20             1.74              1.85
Micro                        2.41             0.02              0.15

Morningstar place VTSMX dans la catégorie Large Blend, donc les moyennes de catégorie dans la colonne de droite sont pour cette catégorie. L'indice de référence est l'l'indice Russell 1000.

VIIIX et VIEIX ont ces distributions :

Market Cap           % (VIIIX)    % (VIEIX)
Giant                    51.28         0.43
Large                    36.20         5.38
Medium                   12.43        48.06
Small                     0.09        32.62
Micro                     0.00        13.51

Nous voulons trouver des allocations pour VIIIX et VIEIX, c'est-à-dire deux pourcentages qui totalisent 1, qui nous donnent un portefeuille avec une distribution de capitalisation boursière aussi proche que possible de celle de VTSMX. Il existe plusieurs méthodes qui fonctionneraient pour cela; les deux renvoient la même solution :

Méthode 1 : Recherche d'objectifs dans Excel

En utilisant la fonction de recherche d'objectifs d'Excel, j'ai constaté que l'allocation de 80,5712423979149 % de votre portefeuille à VIIIX et le le reste (19,4287576 %) à VIEX donne cette distribution (indiquée dans la colonne "répliquée"), qui est assez proche. La deuxième colonne de données est VTSMX, le fonds que vous essayez de répliquer.

Market Cap           % (replicated)       % (VTSMX)       "% Error"
Giant                  41.40                 41.42         0.0471
Large                  30.21                 30.50         0.9441
Medium                 19.35                 19.47         0.6037
Small                  6.41                  6.20          3.3899
Micro                  2.62                  2.41          8.9139

Cela me donne l'allocation d'environ 81 % à VIIIX et 19 % à VIEIX que j'ai répertorié dans la réponse courte ci-dessus. Le pourcentage d'erreur, qui est calculé comme la valeur absolue de la différence entre les allocations divisée par l'allocation dans VTSMX, augmente à mesure que la capitalisation boursière diminue, mais cela ne devrait pas vous déranger. Étant donné que l'allocation diminue à mesure que la capitalisation boursière diminue, même si l'erreur augmente à mesure que la capitalisation boursière diminue, cette erreur représente une quantité de plus en plus faible de la valeur réelle du fonds.

Ce n'est pas un système parfait, car je suis abuser de la notion de "pourcentage d'erreurs pondérées" ; un peu ici, mais j'espère que l'idée est claire.

Méthode 2 : Matrices

Dans ce cas précis, les matrices fournissent une stratégie beaucoup plus robuste et sans doute logique. D'un point de vue mathématique, voici le problème que nous essayons de résoudre :

système d'équations

w1 et w2 sont les allocations en pourcentage de VIIIX et VIEIX, respectivement, que vous souhaitez dans votre portefeuille 401K. À première vue, il semble que vous pouvez simplement résoudre la dernière équation pour w2 et substituer cette valeur dans l'une des quatre premières équations à résoudre pour w1 ; malheureusement, si vous essayez cette stratégie avec la quatrième équation, vous obtenez une valeur de w1 = 4.2816, mais si vous essayez ceci avec la troisième équation, vous obtenez w1 = 0.87716 . Si vous essayez d'utiliser la valeur de w1 provenant de la quatrième équation dans l'une des autres équations (à part la cinquième, dans laquelle cela n'a pas d'importance), vous constaterez que cela ne fonctionnera pas . Il en va de même pour le w1 qui provient de la troisième équation, ou de la seconde, ou de la première.

Il semble que nous ayons un problème. Cependant, tout n'est pas perdu. Si vous avez déjà suivi un cours d'algèbre, vous pouvez voir que le système d'équations ci-dessus ressemble à cette équation matricielle :

équation matricielle

J'ai étiqueté la matrice numérique sur le côté gauche de l'équation A pour gagner de la place. La théorie de l'algèbre linéaire n'est probablement pas passionnante pour tout le monde comme elle l'est pour moi, donc je vais la garder courte. Puisque A est une matrice 5x2 avec rang 2, il a donc un inverse à gauche, que l'on peut calculer comme ceci :

< p>left inverse

Avec notre inverse gauche en main, nous pouvons trouver rapidement la solution de l'équation matricielle comme ceci :

solution

ce qui nous donne la même solution que nous avons trouvée avec Excel. Il est également important de comprendre qu'il s'agit du "meilleur" solution au problème; en d'autres termes, nous avons trouvé les pondérations du VIIIX et du VIEIX qui reproduisent le plus fidèlement possible la répartition de la capitalisation boursière du VTSMX.

Si vous avez déjà suivi un cours de statistiques ou d'économétrie, vous reconnaîtrez peut-être le calcul et l'application de l'inverse à gauche comme estimation moindres carrés ordinaires (OLS) de les poids; cela signifie que dans ce cas, "le plus proche" implique que les pondérations que nous avons trouvées minimisent la somme des carrés des différences ("erreurs" ou "résidus") entre notre portefeuille répliqué et VTSMX.

Alors que la méthode matrice/OLS semble plus compliquée, Je l'inclus car cela peut être beaucoup plus rapide en termes de calcul que d'utiliser Excel si vous essayez de répliquer un portefeuille en utilisant plus de deux fonds. La méthode matrice/OLS s'adapte également très bien dans les situations où plus de deux fonds sont utilisés dans la réplication. De plus, dans ce cas, nous avions les pondérations relatives du S&P 500 et de l'indice d'achèvement à utiliser comme guides, mais une fois que nous commençons à ajouter plus de fonds avec potentiellement plus d'avoirs qui se chevauchent entre eux, le calcul d'un ratio simple peut ne pas fonctionner aussi bien. bien. Dans le cas le plus complexe, cependant, même une simple régression linéaire peut ne pas fonctionner, et vous devrez utiliser des méthodes de régression contrainte et de programmation linéaire/quadratique pour que cela fonctionne (si cela fonctionne du tout).

Comparaison résultat/portefeuille

Si vous substituez les poids w1 et w2 que vous avez trouvés, soit dans Excel soit à l'aide de matrices, dans la partie gauche du système d'équations d'origine ou de l'équation matricielle (en langage statistique, vous calculez les valeurs prédites linéaires)

predicted values

vous pouvez voir que votre portefeuille répliqué ne correspond pas exactement à l'allocation de capitalisation boursière dans VTSMX ; plus précisément, il sur-alloue aux actions géantes, petites et micro-capitalisations tout en sous-allouant aux sociétés à grande et moyenne capitalisation.

J'étais curieux de savoir comment le portefeuille répliqué se comporterait par rapport à VTSMX, j'ai donc lancé un rapide simulation dans MATLAB pour comparer les performances de chaque portefeuille. Tout d'abord, j'ai fait quelques hypothèses :

  1. Au début d'une période de dix ans, vous investissez 10 000 $ dans chaque portefeuille. Pour chaque mois de la même période, vous investissez 1 000 USD supplémentaires.
  2. J'ai désannualisé les rendement annuel moyen pour les actions géantes/méga, grandes, moyennes/moyennes, petites et micro capitalisations en utilisant la formule 1 + annuel = (1 + mensuel)^12. Une autre option serait de trouver un ensemble de pondérations qui atteignent le rendement moyen sur 10 ans pour VTSMX.
  3. J'ai calculé le ratio de dépenses pondéré pour le portefeuille répliqué de la même manière que j'ai calculé les valeurs prédites. En utilisant les ratios de dépenses de VIIIX (0,02 %) et VIEIX (0,12 %), cela me donne un ratio de dépenses de 0,039 %.
  4. J'ai ignoré l'inflation, car elle devrait s'appliquer de la même manière à la fois au VTSMX et au portefeuille répliqué
  5. J'ai ignoré les coûts de transaction ; Je pense que c'est une hypothèse sûre à faire lors de l'achat de fonds communs de placement.

Les résultats de la simulation :

comparaison entre VTSMX et le portefeuille répliqué

Comme vous pouvez le voir, le portefeuille répliqué correspond étroitement à VTSMX. La valeur finale du portefeuille VTSMX est de 185 561,89 $ ; pour le portefeuille répliqué, c'est 185 992,72 $.

Le portefeuille répliqué surpasse le portefeuille VTSMX en partie parce que le portefeuille répliqué est composé d'actions institutionnelles, qui ont des ratios de dépenses beaucoup plus faibles que les actions des investisseurs le VTSMX utilise (la répartition de la capitalisation boursière fait également une différence). Même si vous avez investi dans le VTSAX, les actions Admiral équivalent de VTSMX, qui a un ratio de dépenses beaucoup plus faible de 0,05 %, le ratio de dépenses pondéré est toujours inférieur à 0,039318 et votre rendement toujours dépasse le fonds de référence (VTASX dans ce Cas). Les résultats finaux sont de 185 580,43 $ et 185 992,72 $ pour VTSAX et le portefeuille répliqué, respectivement. La distance s'est réduite, mais ce n'est pas suffisant pour que le fonds Vanguard batte votre portefeuille.

Mises en garde

Bien que ces rendements moyens puissent ne pas représenter avec précision les avoirs dans VTSMX ou votre portefeuille répliqué et les statistiques de rendements moyens pour chaque capitalisation boursière peuvent représenter des avoirs légèrement différents de ceux des fonds Vanguard, ces nuances ne posent pas de problème dans cet exemple car j'utilise le même indice de référence pour estimer les rendements sur VTSMX et le portefeuille répliqué.

Code

Voici le code MATLAB pour la simulation ; J'ai fait le graphique dans Excel.

clear

%% Funds available for replication
VIIIX = [51.28;36.2;12.43;0.09;0] / 100;
VIEIX = [0.43;5.38;48.06;32.62;13.51] / 100;
expVIIIX = 0.02/100;
expVIEIX = 0.12/100;

%% Replication target
VTSMX = [41.42;30.5;19.47;6.2;2.41] / 100;
expVTSMX = 0.17/100;

%% Calculation of weights w1 and w2
A = [VIIIX VIEIX];
w = A \ VTSMX;

%% Market cap distribution, weighted expense ratio of replicated portfolio
REPPORT = A * w;
expREPPORT = [expVIIIX expVIEIX] * w;

%% De-annualized average returns and expense ratios
avgAnnRet = [0.0646;0.0572;0.0624;0.0848;0.0616];
avgMonRet = (1 + avgAnnRet).^(1/12) - 1;
expMonVTSMX   = (1 + expVTSMX)^(1/12) - 1;
expMonREPPORT = (1 + expREPPORT)^(1/12) - 1;

%% Simulation
% Parameters
startYear  = 2010;
endYear    = 2020;
initialInv = 10000;
monthlyInv = 1000;

% Initial investments, weighted by market cap
valVTSMX = initialInv * VTSMX;
valREPPORT = initialInv * REPPORT;

data = zeros((endYear - startYear)*12+1, 2);

for month=startYear:1/12:endYear
    valVTSMX   = monthlyInv * VTSMX + valVTSMX.*(1+avgMonRet);
    valREPPORT = monthlyInv * REPPORT + valREPPORT.*(1+avgMonRet);
    data(round(12*(month-startYear))+1, :) = [sum(valVTSMX)*(1-expMonVTSMX), ...
        sum(valREPPORT)*(1-expMonREPPORT)];
end

xlswrite('returns.xls', data, 'Data', 'A2');
2020/06/16
22
6/16/2020 10:49:06 AM

Je viens de trouver http://www.bogleheads.org/wiki/Approximating_Total_Stock_Market qui répond à cette question question également.

2013/05/16

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